Геометрія любить несподіванки. Здавалося б, бісектриса трикутника — просто промінь, що ділить кут навпіл. Але варто зазирнути трохи глибше — і виявляється, що ця скромна лінія несе в собі цілий пакет властивостей, теорем і формул, які регулярно зустрічаються в задачах ДПА, ЗНО і навіть олімпіадах. Саме тому бісектриса — один із тих елементів трикутника, який варто розібрати не лише на рівні “що це таке”, а й на рівні “як із цим працювати”.
У цій статті — головні властивості, дві ключові теореми, формула довжини і розбір задач із покроковим розв’язком. Без зайвої теорії, зате з конкретними прикладами.
Що таке бісектриса трикутника: коротко про основне
Визначення і позначення
Бісектриса кута трикутника — це відрізок, що з’єднує вершину трикутника з точкою на протилежній стороні і ділить кут цієї вершини рівно навпіл. Важливо: у трикутнику бісектриса — це саме відрізок (від вершини до протилежної сторони), а не нескінченний промінь, як у загальному визначенні для довільного кута.
У трикутнику ABC бісектриса з вершини A позначається як AD, де D — точка на стороні BC. Аналогічно: бісектриса з B — це BE, із C — CF. У кожному трикутнику є рівно три бісектриси.
Чим бісектриса відрізняється від медіани і висоти
Усі три виходять із вершини, але виконують різні ролі: медіана ділить протилежну сторону навпіл, висота перпендикулярна до неї, бісектриса ділить кут навпіл. У рівнобедреному трикутнику бісектриса з вершинного кута збігається водночас із медіаною і висотою — у всіх інших випадках ні.
Основна теорема про бісектрису трикутника
Формулювання теореми
Це, мабуть, найважливіша властивість бісектриси — і найчастіше вживана в задачах. Теорема звучить так:
Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам.
Тобто якщо в трикутнику ABC бісектриса з вершини A ділить сторону BC у точці D, то виконується рівність:
BD / DC = AB / AC
Простіше кажучи: відношення двох частин, на які бісектриса розбиває протилежну сторону, дорівнює відношенню двох сторін трикутника, що прилягають до цієї вершини.
Доведення через площі
Найелегантніший спосіб довести цю теорему — через площі. Бісектриса AD ділить трикутник ABC на два менших: ABD і ACD. Їхні висоти, опущені з D на прямі AB і AC відповідно, рівні (адже D лежить на бісектрисі — а кожна точка бісектриси рівновіддалена від обох сторін кута). Тому відношення площ трикутників ABD і ACD дорівнює відношенню їхніх основ AB і AC. З іншого боку, трикутники ABD і ACD мають спільну висоту, опущену з A на BC, тому відношення їхніх площ також дорівнює BD / DC. Прирівнюючи обидва вирази — отримуємо теорему.
Практичне застосування теореми
Теорема зручна тим, що дозволяє знаходити невідомі відрізки, якщо відомі сторони трикутника — або навпаки. Приклад: у трикутнику ABC сторони AB = 6, AC = 9, BC = 10. Бісектриса з A ділить BC у точці D. Знайти BD і DC.
За теоремою: BD / DC = AB / AC = 6 / 9 = 2 / 3. Разом BD + DC = 10. Складаємо систему: BD = 2x, DC = 3x, 2x + 3x = 10, x = 2. Відповідь: BD = 4, DC = 6.
Інцентр: точка перетину трьох бісектрис
Що таке інцентр і чому він особливий
Три бісектриси трикутника завжди перетинаються в одній точці — і ця точка називається інцентром (від латинського incenter). Це не просто цікавий геометричний факт: інцентр є центром кола, вписаного в трикутник — тобто кола, яке торкається всіх трьох сторін.
Чому саме інцентр? Бо кожна точка на бісектрисі кута рівновіддалена від обох його сторін. Якщо точка лежить на бісектрисах двох кутів одночасно — вона рівновіддалена від усіх трьох сторін. А єдине коло, рівновіддалене від трьох прямих, — це вписане коло.
Координати інцентра і радіус вписаного кола
Якщо відомі координати вершин A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) і довжини сторін a, b, c, координати інцентра I обчислюють за формулою зваженого середнього: Iₓ = (a·x₁ + b·x₂ + c·x₃)/(a+b+c), Iᵧ = (a·y₁ + b·y₂ + c·y₃)/(a+b+c). Ця формула зустрічається в задачах на координатному методі.
Радіус вписаного кола r пов’язаний із площею S і напівпериметром p = (a+b+c)/2 простою формулою: r = S/p. Знаючи інцентр і радіус — можна повністю описати вписане коло.
Формула довжини бісектриси
Основна формула
Довжину бісектриси, проведеної з вершини A трикутника з прилеглими сторонами b і c та кутом α при вершині A, можна обчислити за формулою:
l² = b · c · [1 − (a / (b + c))²]
або в еквівалентному вигляді через кут:
l = (2bc / (b + c)) · cos(α / 2)
де b і c — сторони, що утворюють кут при вершині A, α — кут при вершині A.
Коли яка формула зручніша
Формула через косинус кута зручніша, коли відомий сам кут. Формула через сторони — коли відомі всі три сторони трикутника, а кут треба спочатку знаходити через теорему косинусів. У задачах ДПА найчастіше зустрічається перший варіант — через сторони.
| Відомо | Формула | Застосування |
|---|---|---|
| Сторони b, c і кут α | l = (2bc/(b+c)) · cos(α/2) | Якщо кут заданий явно |
| Усі три сторони a, b, c | l² = bc·[1−(a/(b+c))²] | Якщо кут потрібно обчислити |
| Координати вершин | Через формулу довжини відрізка | Координатний метод |
Властивість рівновіддаленості точок бісектриси
Геометричний зміст
Кожна точка бісектриси кута рівновіддалена від обох сторін цього кута. Це не додаткова теорема — це безпосередній наслідок визначення бісектриси і одна з її фундаментальних властивостей.
Практично це означає: якщо в задачі сказано, що якась точка P однаково віддалена від двох прямих (сторін кута), то P лежить на бісектрисі. І навпаки — якщо точка на бісектрисі, то її відстані до обох сторін кута рівні.
Застосування в задачах
Ця властивість часто є “ключем” у задачах, де треба довести, що якась точка лежить на бісектрисі, або знайти відстань від точки до сторони, знаючи її відстань до іншої сторони того ж кута.
Типова конструкція: з точки P на бісектрисі кута опущені перпендикуляри PM і PN на обидві сторони кута. За властивістю: PM = PN. Якщо відоме одне — автоматично відоме інше. Такі задачі часто здаються складнішими, ніж є насправді — варто одразу шукати цю рівність.
Зовнішня бісектриса трикутника
Визначення і теорема Аполлонія
Кожен кут трикутника має і зовнішню бісектрису — вона ділить навпіл суміжний кут. Внутрішня і зовнішня бісектриси одного кута взаємно перпендикулярні.
Зовнішня бісектриса теж ділить протилежну сторону у відношенні AB/AC — але точка поділу лежить поза відрізком BC (теорема Аполлонія). Це та сама пропорція, що й для внутрішньої, проте з “від’ємним” знаком у геометричному сенсі. У задачах ДПА зовнішня бісектриса зустрічається рідко, але знати про неї корисно.
Розбір задач із розв’язком
Задача 1: знайти відрізки за теоремою про бісектрису
Умова: у трикутнику ABC сторони AB = 8, AC = 12, BC = 15. Бісектриса з A перетинає BC у точці D. Знайти BD і DC.
Розв’язок: За теоремою: BD / DC = AB / AC = 8 / 12 = 2 / 3. Нехай BD = 2x, DC = 3x. Тоді BD + DC = 5x = 15, звідси x = 3. BD = 6, DC = 9.
Перевірка: BD / DC = 6 / 9 = 2 / 3 = AB / AC. Вірно.
Задача 2: знайти довжину бісектриси
Умова: у трикутнику ABC: AB = 5, AC = 7, кут A = 60°. Знайти довжину бісектриси AD.
Розв’язок: Використовуємо формулу: l = (2bc / (b + c)) · cos(α / 2). b = AC = 7, c = AB = 5, α = 60°, α/2 = 30°, cos 30° = √3 / 2. l = (2 · 7 · 5 / (7 + 5)) · (√3 / 2) = (70 / 12) · (√3 / 2) = 70√3 / 24 = 35√3 / 12.
Відповідь: AD = 35√3 / 12 ≈ 5,05.
Задача 3: знайти сторону трикутника через бісектрису
Умова: бісектриса з вершини B трикутника ABC ділить сторону AC у відношенні AD : DC = 3 : 5. Сторона AB = 9. Знайти BC.
Розв’язок: За теоремою: AD / DC = AB / BC, тобто 3 / 5 = 9 / BC. BC = 9 · 5 / 3 = 15.
Відповідь: BC = 15.
Властивості бісектриси в особливих трикутниках
Рівносторонній, рівнобедрений і прямокутний
У рівносторонньому трикутнику всі три бісектриси рівні й збігаються з медіанами та висотами; інцентр збігається з центроїдом. Довжина бісектриси зі стороною a: l = a√3/2.
У рівнобедреному трикутнику бісектриса з вершинного кута є водночас медіаною і висотою (вісь симетрії). Бісектриси з двох основних кутів рівні між собою, але не збігаються з медіанами чи висотами.
У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить його на два кути по 45°; її довжина l = ab√2/(a+b), де a і b — катети. Радіус вписаного кола: r = (a+b−c)/2, де c — гіпотенуза.
Часті запитання про властивості бісектриси трикутника
Чи завжди три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці? Так, завжди — для будь-якого трикутника. Це доводиться через властивість рівновіддаленості: точка, що лежить на двох бісектрисах, рівновіддалена від усіх трьох сторін, а отже, лежить і на третій.
Чи може бісектриса збігатися з медіаною в нерівнобедреному трикутнику? Ні. Якщо бісектриса збігається з медіаною — трикутник обов’язково рівнобедрений (це обернена теорема). Так само і для бісектриси та висоти.
Як пов’язані довжини трьох бісектрис між собою? Прямої простої залежності між довжинами трьох бісектрис немає — кожна обчислюється окремо за формулою. Але всі три залежать від сторін трикутника, тому непряма пов’язаність є.
Де найчастіше зустрічається теорема про бісектрису в задачах ДПА? У задачах на пропорційне ділення сторони (знайти відрізки BD і DC), у задачах на вписане коло (знайти радіус або дотичні), а також у задачах на координатний метод — знайти координати інцентра.
Бісектриса трикутника — один із тих елементів геометрії, де за простим визначенням ховається справжній арсенал інструментів. Теорема про пропорційне ділення сторони, інцентр і вписане коло, формула довжини — кожна з цих властивостей самостійна, але разом вони дають повну картину. Розберіть їх на конкретних задачах, і бісектриса перестане бути “страшним словом” — стане зручним інструментом.
